Cálculo Diferencial e Integral

2 Límtes y continuidad

Qué Valores de n satisfacen el límite:

3 Derivadas

3.1 La derivada como una función

Sol:

Factorizando

Calculando el cociente de Newton:

Aplicando el límite cuando

3.6 Derivación implícita

La mayoría de las funciones que hemos tratado hasta ahora se han descrito mediante una ecuación de la forma y 5 f(x), la cual expresa de manera explícita a y en términos de la variable x. Hemos aprendido reglas para derivar funciones definidas de esta manera. Otra situación ocurre cuando encontramos ecuaciones como

EJEMPLO 1 Diferenciación implícita

Encontrar

Sol:

Resolvemos para

EJEMPLO 2 Pendiente de un círculo en un punto

Encontrar la pendiente del círculo

en el punto (3, –4).

Sol:

Gráfica

Evaluando en el punto de interés

Recta tangente

EJEMPLO 3 Diferenciar implícitamente

Encontrar

(figura 3.39).

Sol:

EJEMPLO 4 Demostrar que:

3.8 Tazas relacionadas

Ejercicio 1

4 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Definición

Un punto interior del domino de una función f donde f' es cero o no esta definidad es un punto crítico de f.

Como determinar los extremos absolitos de una función continua f en un intervalo cerrado finito.

Evulue la funcipn f en todos los puntos críticos y en los puntos extremos del intervalo [a,b].
Tome el mayor y el menor de tales valores.

4.1 Valores extremos de funciones

DEFINICIONES

Máximo absoluto, mínimo absoluto

Sea f una función con dominio D. Decimos que f tiene un valor máximo absoluto en D en un punto c si

para todo x en D

y un valor mínimo absoluto en D en un punto c si

para toda x en D.

TEOREMA 1

Teorema del valor extremo

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza tanto un valor máximo absoluto M como un valor mínimo absoluto m en [a, b]. Esto es, existen números x1 y x2 en [a, b] con f(x1)=m, f(x2)=M y m ≤f(x) ≤ M para cualquier otra x en [a, b] (figura 4.3).

DEFINICIONES Máximo local, mínimo local

Una función f tiene un valor máximo local en un punto interior c de su dominio si

Una función f tiene un valor mínimo local en un punto interior c de su dominio si

. para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c.

4.4 Concavidad y trazado de curvas

DEFINICIONES La gráfica de una función diferenciable

(a) cóncava hacia arriba en un intervalo abierto I si f' es creciente en I.

(b) cóncava hacia abajo en un intervalo abierto I si ƒ' es decreciente en I.

Prueba de la segunda derivada para concavidad

Sea dos veces diferenciable en un intervalo I.

1. Si en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia arriba.

2. Si ƒ– 6 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia abajo.

DEFINICIÓN Punto de inflexión

Un punto donde la gráfica de una función tiene recta tangente y la concavidad

cambia es un punto de inflexión.

TEOREMA 5 Prueba de la segunda derivada para extremos locales

Supongamos que es continua en un intervalo abierto que contiene a

1. Si y f tiene un máximo local en

2. Si y f tiene un mínimo local en

3. Si y la prueba falla. La función f puede tener un máximo

local, un mínimo local, o ninguno de ellos.

Estrategia para graficar y � ƒ(x)

1. Identificar el dominio de f y cualesquiera simetrías que pueda tener la curva.

2. Encontrar y'

3. Encontrar los puntos críticos de f, e identificar el comportamiento de la función

en cada uno.

4. Encontrar en dónde crece la curva y en dónde decrece.

5. Encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad

de la curva.

6. Identificar las asíntotas.

7. Trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos

encontrados en los pasos 3 a 5, y dibujar la curva.

Primer ejericicio de graficación

09.11.2021

Paso 1.5 Rango de la función

Paso 2 y 3:

x=sqrt(3);
x^4-6*x^2
ans = -9.0000
x=-sqrt(3);
x^4-6*x^2
ans = -9.0000

Paso 4:

Creciente:

Decreciente:

Intervalo creciente 1

Intervalo creciente 2

Intervalo decreciente 1

Intervalo decreciente 2

5. Encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad de la curva.

Puntos de inflexión:

Al ser mayor que cero nuestra segunda derivada evaluada en el primer punto c´ritico se tiene en ese punto una concavidad hacía Arriba.

Y además se conoce la existencia de un mínio en ese punto

Al ser mayor que cero nuestra segunda derivada evaluada en el primer punto c´ritico se tiene en ese punto una concavidad hacía Abajo.

Y además se conoce la existencia de un máximo en ese punto

Al ser mayor que cero nuestra segunda derivada evaluada en el primer punto c´ritico se tiene en ese punto una concavidad hacía Arriba.

Y además se conoce la existencia de un mínio en ese punto

6. Identificar las asíntotas.

No hay existencia de asíntotas

7. Trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos

encontrados en los pasos 3 a 5, y dibujar la curva

6^(1/4)

ans = 1.5651

x=sym('x')

x =

x^4-6*x^2

ans =

fplot(ans)

% Compute analytic solution of a symbolic equation

solution = solve(ans,x);

% Display symbolic solution returned by solve

displaySymSolution(solution);

solution =

3.- En el inervalo [-2,2]

x=sym('x');

f=sym('f');

f=3*x^5-5*x^3-1

f =

1. Identificar el dominio de f y cualesquiera simetrías que pueda tener la curva.

Df=[-2,2]

2. Encontrar y'

3. Encontrar los puntos críticos de f, e identificar el comportamiento de la función

en cada uno.

x=[-1,0,1];

y=[1,-1,-3];

plot(x,y,'ro')

grid on

4. Encontrar en dónde crece la curva y en dónde decrece.

Evaluando en los puntos críticos:

En el punto -1,1 existe un máximo

En el punto 0,-1 existe un únto silla

En el punto 1,-3 existe un mínimo

Creceinte de

Decreceinte de

Creceinte de

Decreceinte de

5. Encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad de la curva.

En el punto -1,1 existe un Concava acia abajo.

En el punto 0,-1 existe un Punto de inflexión

En el punto 1,-3 existe un Concava acia arriba.

6. Identificar las asíntotas.

No asíntotas, debido a que no es un fucnión racional

7. Trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos

x=[-1,0,1];

y=[1,-1,-3];

plot(x,y,'ro')

grid on

x=sym('x')

x =

8/(x\sqrt(x^2-4))

ans =

var = diff(ans,x)

var =

% Compute analytic solution of a symbolic equation

solution2 = solve(var,x);

% Display symbolic solution returned by solve

displaySymSolution(solution2);

 
solution2 =
 
Empty sym: 0-by-1
 
No solution exists.

Calculando los puntos críticos:

x1=(-1+sqrt(65))/4
x1 = 1.7656
x2=(-1-sqrt(65))/4
x2 = -2.2656

Comportamiento de la fucnión en los puntos críticos:

x=x1
x = 1.7656
f=8/(x*sqrt(x^2-4))
f = 0.0000 - 4.8226i
x=x2
x = -2.2656
f=8/(x*sqrt(x^2-4))
f = -3.3177

4 calculo de segunda derivado

Evaluando en los puntos críticos:

x=x1
x = 1.7656
fdd=16/(x^3*(x^2-4)^(1/2))+8/(x^2*(x^2-4)^(3/2))+6/(x*(x^2-4)^(5/2))
fdd = 0.0000 - 4.6412i
x=x2
x = -2.2656
fdd=16/(x^3*(x^2-4)^(1/2))+8/(x^2*(x^2-4)^(3/2))+6/(x*(x^2-4)^(5/2))
fdd = -1.9391

La función evaluada en el punto crítico x_2 tiene un máximo.

Regiones de crecimiento y decrecimiento:

Punto crítico: Máximo:

Creciente de :

Decreciente:

Calculando los puntos críticos:

x1=(-1+sqrt(65))/4
x1 = 1.7656
x2=(-1-sqrt(65))/4
x2 = -2.2656

Creciente de :

Calculando los puntos críticos:

x1=(-1+sqrt(65))/4
x1 = 1.7656
x2=(-1-sqrt(65))/4
x2 = -2.2656

Decreciente de :

6.-Asíntotas

7.- Puntos de interes y bosquejo:

Evaluando la función en el intervalo de

x=3
x = 3
f=8/(x*sqrt(x^2-4))
f = 1.1926

Comprobación

7 FUNCIONES TRASCENDENTES

Funciones inyectivas (uno a uno)

Una función es una regla que asigna un valor, dentro de su rango, a cada uno de los puntos de su dominio. Algunas funciones asignan el mismo valor del rango a más de un elemento del dominio. La función

asigna el mismo valor, 1, a ambos números -1 y +1; tanto el seno de

como el de

tienen el valor Otras funciones asumen cada valor en su rango no más de una vez. La raíz cuadrada y el cubo de números diferentes son siempre diferentes.

Una función con valores distintos en elementos distintos en su dominio se denomina inyectiva (o uno a uno). Estas funciones toman exactamente una vez cada valor de su rango.

x=linspace(-10,10);

plot(x,x+2)

grid on

title("Gráfica de función x+2") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off"; % apagar caja

La función es inyectiva porque para cada valor de x corresponde un único valor de y
Debido a que la función es creciente en todo moemnto la funcipon es inyectiva

x=linspace(-4,4);

y=x.^2-1;

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función x^2-1") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

axis([x(1),x(100),min(y),max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

La función no es inyectiva ya que para 2 valores de x se optiene un solo varlor de y.

Otra forma de visularizarlo es preguntar si la función es creciente o decreciente en todo momento, en caso de que nosea así, la función no es inyectiva

DEFINICIÓN 1

Una función f (x) es inyectiva en el dominio D si

siempre que

en D.

EJEMPLO 1

Algunas funciones son inyectivas en todo su dominio natural. Otras funciones no son inyectivas en todo su dominio, pero al restringir la función a un dominio más pequeño, es posible crear una función que sea inyectiva. Las funciones, la original y la restringida, no son la misma función, pues sus dominios son diferentes. Sin embargo, las dos funciones tienen los mismos valores en el dominio pequeño, así que la función original es una extensión de la función restringida de su dominio menor al dominio más grande.

(a)

es inyectiva en cualquier dominio de números no negativos porque

siempre que

(b)

no es inyectiva en el intervalo

, porque

. De hecho, para cada elemento

en el subintervalo [0, py2), existe un elemento correspondiente x2 en el subintervalo (py2, p] que satisface sen x1 5 sen x2, así que a elementos distintos en el dominio se les asigna el mismo valor en el rango. Sin embargo, la función seno es inyectiva

en [0, py2], ya que el seno es una función estrictamente creciente en [0, py2], lo

que da salidas distintas para entradas distintas.

La gráfica de una función inyectiva y 5 f (x) puede intersecar a lo más una vez a una recta

horizontal dada. Si la cruza más de una vez, toma el mismo valor de y para al menos dos valores

diferentes de x; por lo tanto, no es inyectiva (figura 7.1).

Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivas

Una función y 5 f (x) es inyectiva si y sólo si su gráfica interseca cada recta horizontal

a lo más una vez.

Funciones inversas

Como cada resultado de una función inyectiva proviene sólo de una entrada, invertimos el efecto

de la función para enviar una salida de regreso a la entrada de donde provino.

DEFINICIÓN

Suponga que f es una función inyectiva en un dominio D con rango R.

La función inversa f 21 se define como

El dominio de f 21 es R y el rango de f 21 es D.

ƒ-1sbd = a si ƒsad = b.

El símbolo f 21 para la inversa de f se lee “inversa de f ”. El “21” de f 21 no es un exponente:

f 21(x) no significa 1yf (x). Observe que los dominios y rangos de f y f 21 se intercambian.

EJEMPLO 2 Suponga que se da una función inyectiva, y 5 f (x), por medio de una tabla de

valores

x 1 2 3 4 5 6 7 8

ƒ(x) 3 4.5 7 10.5 15 20.5 27 34.5

y 3 4.5 7 10.5 15 20.5 27 34.5

ƒ-1syd 1 2 3 4 5 6 7 8

De esta forma, una tabla para los valores de x 5 f 21(x) se puede obtener con sólo intercambiar

los valores en las columnas de la tabla para f :

Si aplicamos f para enviar una entrada x a la salida f (x) y en seguida aplicamos f 21 a f (x),

obtenemos nuevamente x, justo donde iniciamos. De manera análoga, si tomamos algún

número y en el rango de f, le aplicamos f 21 y luego aplicamos f al valor resultante f 21(y),

obtenemos una vez más el valor y con el que iniciamos. Componer una función y su inversa

anula cualquier trabajo.

Sólo una función que sea inyectiva puede tener una inversa. La razón es que si f (x1) 5 y

y f (x2) 5 y para dos entradas distintas x1 y x2, entonces no existe forma de asignar un valor a

f 21(y) que satisfaga al mismo tiempo f 21( f (x1)) 5 x1 y f 21( f (x2)) 5 x2.

sƒ � ƒ-1dsyd = y, para toda y

Una función que es creciente en un intervalo, de manera que satisface la desigualdad

f (x2) . f (x1) cuando x2 . x1, es inyectiva y tiene una inversa. Las funciones decrecientes

también tienen una inversa. Las funciones que no son crecientes ni decrecientes aún pueden ser

inyectivas y tener una inversa, como la función f (x) 5 1yx para x Z 0 y f (0) 5 0, definida en

(2`, `) que pasa la prueba de la recta horizontal.

Función suprayectiva

Una función f: A→Bes suprayectiva o sobreyectiva si para cada be Bexiste a e A tal que f(a)= b; es decir, para todo elemento de B siempre hay uno de A al cual fue asignado.

Otra forma de reconocer una función suprayectiva es si su contradominio es igual a su rango. Al menos que se indique lo contrario el contradominio de las funciones dadas serán los números reales.

EJEMPLOS

Determina si la función f(x) = x² + 1 es suprayectiva.

Solución

El contradominio de la función es el intervalo (-∞, c) y su rango el intervalo [1, ∞), por tanto, la función no es suprayectiva.

x=linspace(-2,2);

y=x.^2+1;

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función x^2+1") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

axis([x(1),x(100),0,max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

Demostración:

De la definición de funci´n inyectiva: Una función f (x) es inyectiva en el dominio D si

siempre que

en D.

Se propne 2 número realies x1 y x2 que cumplan con las características de la definición.

x1=1

x2=-1

f(x1)=(1)^2+1=1

f(x2)=(-1)^2+1=1

Al evaular en los 2 valores propuestos diferenctes se obtiene un mismo valor de f(x)

\therefore

La función no es inyectiva

2. Determina si la función f(x) = x³ + 1 es suprayectiva

Solución

x=linspace(-2,2);

y=x.^3+1;

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función x^3+1") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

El contradominio de la función es el intervalo (-, ∞) y su rango el intervalo (-, ∞), por tanto, la función es

suprayectiva.

Función biyectiva

Una función "f" es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

EJEMPLOS

1.-Determina si la función f(x)= 3x + 1 es biyectiva.

Solución

x=linspace(-2,2);

y=3*x+1;

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función 3*x+1") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

Es una función siempre creciente, por tanto, es inyectiva. El contradominio de la función es (-∞, ∞) y su rango (-∞,∞) entonces es suprayectiva.

La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, es biyectiva.

2.-Determina si la función

es biyectiva.

Solución

x=linspace(-2,1);

y=(1-x).^(1/2);

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función (1-x)^{(1/2)}") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

Si al trazar una recta paralela al eje X interseca a la curva en un punto es inyectiva; no es suprayectiva, ya que su contradominio son los reales y su rango es el intervalo [0, ∞). Es inyectiva pero no suprayectiva, entonces no es biyectiva.

3.- Determina si la función f: (-∞, 1] → [0, ∞), tal que

es biyectiva.

Solución

La gráfica es la misma de la función del ejemplo anterior, por tanto, la función es inyectiva.

En este caso se especifica el contradominio como el intervalo [0, ∞) el cual es igual al rango, entonces, es su prayectiva.

Es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva

Contradominio: (-\infty- \infty)

Si se especifica

Codominio: (a, b) :

Dominio: (-∞, 1]

Codominio: [0, ∞)

Rango: [0, ∞)

\therefore: f(x) es Biyectiva

4. Determina si la función f: (-∞, 0]→[0, ∞), tal que

es biyectiva.

Solución

x=linspace(-2,0);

y=x.^2;

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función f: (-∞, 0]→[0, ∞) x^2") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

De la gráfica se observa que la función es inyectiva, ya que la recta horizontal sólo toca un punto. Por otro lado, el contradominio es el intervalo [0, ∞) el cual es igual al rango, por tanto, es suprayectiva. Por último, es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva...

Ejercicios 8

1. f(x)=x

Sol:

De ladefinición: (1)

Es inyectiva ya que cumple con la definición.

2. f(x) = 3

Sol:

De ladefinición: (1)

3. f(x)=x²

Sol:

De ladefinición: (1)

No es una función inyectiva

x=linspace(-2,2);

y=x.^2;

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función x^2") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

4. f(x) = x³

Sol:

De ladefinición: (1)

Es una función inyectiva

x=linspace(-2,2);

y=x.^3;

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función x^3") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

%axis([x(1),x(100),y,max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

Ahora analizamos si es suprayectiva

Es suprayectiva.

Siempre para este punto se dbe resolver para la variable independiente y busvar la presencia de los siguinetes caso de discontinuidad o inexestancia del rango:

División entre 0
Raices pares negativas

6. f(x)=x²-7x + 10

7. f(x)=2x-3

9. f.

, tal que f(x)=x²-1

10. f: [0, ∞)→ [0, ∞), tal que f(x) = |x|

Ejercicios adicionales

1

Sol:

De ladefinición: (1)

Es inyectiva

Ahora analizamos si es suprayectiva

Siempre para este punto se debe resolver para la variable independiente y busvar la presencia de los siguinetes casos de discontinuidad o inexestancia del rango:

División entre 0
Raices pares negativas
valores indeterminados para logaritmos menores o iguales a 0.

Buscamos aquellos valores que hagan negativo o 0 el argumento del logaritmo

Por lo tanto el rango se define como:

De forma general no es suprayectiva.

2

Sol:

x=linspace(-2,pi);

[m,l]=size(x);

y=zeros(1,l);

[m,n]=size(x);

for i=1:n

if (0<=x(i) && x(i)<=pi)

y(i)=2-cos(x(i));

elseif(-2<x(i) && x(i)<0)

y(i)=log(x(i)+exp(1));

end

plot(x,y)

grid on

title("Gráfica de función f(x)") % Título

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

axis([x(2),x(100),min(y),max(y)+max(y)*0.1])

h = gca; % ejes actuales

h.XAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.YAxisLocation = "origin"; % eje en el origen

h.Box = "off";

De la definición 1:

Primera consideración:

Por lo tanto es inyectiva en el primer caso

Por lo tanto es inyectiva en el segundo caso

b) Se busca si es suprazectiva.

En general no es suprayectiva za que en general el rango no es igual al coodominio.

Se despejara de la función segmentada la variable dependiente:

para el intervalo

Por lo tanto se ha demostrado que el rango no es todos los reales y por lotanto es diferente del codominio

No suprayectiva en general.

c) No es biyectiva, ya que no es suprayectiva en lo general.

Referencias:

Calculo. Una Variable / 11 Ed. Thomas, George B. / Weir, Maurice D. / Hass, Joel
Demidobich B. Problemas y ejercicios de análisis matemático 2 Ed.
Calculus. Una Y Varias Variables / 4 Ed. / Vol. 1 Salas, Saturnino / Etgen, Garret / Hille, Einar
CALCULUS Autor: MICHAEL SPIVAKE
Calculo Diferencial E Integral (Conamat) Conamat (Colegio Nacional De Matematicas)
CALCULUS I. CALCULO CON FUNCIONES DE UNA VARIABLE CON UNA INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL Autor APOSTOL, TOM M.
Calculo Diferencial E Integral Granville, William Anthony

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